Calculons tout d’abord l’angle limite correspondant au dioptre plan séparant l’air de l’eau : il est défini par :

avec  et  soit

Un rayon qui arrivera avec une incidence inférieure à   (rayon vert) émergera dans l’air après s’être réfracté.
Un rayon qui arrivera avec une incidence supérieure à   sera totalement réfléchi et n’émergera pas dans l’air.
A la limite, un rayon incident avec un angle égal à   émergera en rasant la surface de séparation eau-air.
On examinera ci-dessous les cas correspondant à deux positions différentes du miroir :

• L’inclinaison du miroir par rapport à l’horizontale est comprise entre 0° et 48,5°.

• L’inclinaison du miroir par rapport à l’horizontale est supérieure à 48,5°.

Pour interpréter l’expérience, il faut s’intéresser uniquement à ce que l’observateur voit dans le miroir.
C’est la raison pour laquelle, dans les constructions géométriques destinées à expliquer le phénomène, on ne tiendra compte que des rayons lumineux qui arrivent dans l’œil après avoir subi une réflexion dans le miroir.
L’inclinaison du miroir par rapport à l’horizontale est comprise entre 0° et 48,5°.

Un rayon issu du haut de la main (rayon bleu) se réfracte à la surface de l’eau puis se réfléchit sur la surface du miroir et peut après une nouvelle réfraction atteindre l’oeil.
De même qu’un rayon issu des doigts de la main (rayon rouge) se réfléchit sur la surface de l’eau (si son angle d’incidence est supérieur à l’angle limite), puis se réfléchit à nouveau sur la surface du miroir plan avant de se réfracter à la surface de l’eau (son angle d’incidence est inférieur à l’angle limite) pour atteindre l’oeil.
Pour cette inclinaison de miroir il est donc possible pour l’oeil d’observer l’intégralité de la main.
L’inclinaison du miroir par rapport à l’horizontale est supérieure à 48,5°

Si l’on incline maintenant beaucoup plus fortement le miroir par rapport à la surface de l’eau, le trajet des rayons lumineux issus des différentes parties de la main est différent.
Un rayon issu du haut de la main (rayon bleu) se réfracte à la surface de l’eau puis se réfléchit sur la surface du miroir et atteint la surface de l’eau avec un angle supérieur à l’angle limite : il se réfléchit donc sur la surface de l’eau et n’atteint pas l’oeil.
Un rayon issu des doigts de la main peut emprunter deux trajets pour atteindre l’oeil :

• il se réfracte à la surface de l’eau avec un angle d’incidence inférieur à l’angle limite (1er rayon rouge)

• il se réfléchit à la surface du miroir puis se réfracte avec un angle d’incidence inférieur à l’angle limite (2ème rayon rouge) : on oberve alors 2 images inversées des doits de la main d’où « les doigts doubles ».

Remarques

Représentons par une flèche verticale AB la main et la partie des doigts plongés dans l’eau (DA).

L’oeil de l’observateur verra la partie immergée AD raccourcie en A’D à cause de la réfraction des rayons issus des doigts dans l’eau tandis que la partie de la main dans l’air sera à sa taille normale.
La relation entre la taille de l’objet AB et celle de l’image A’B’ s’écrit de la façon suivante en supposant les rayons lumineux peu inclinés par rapport à la normale au dioptre :

avec

 indice de réfraction du milieu dans lequel se trouve l’observateur et  indice de réfraction du milieu dans lequel l’observateur voit l’image virtuelle.
L’espace situé sous l’eau paraît rétréci de 75% dans la direction de la normale si l’observateur est situé dans l’air et regarde dans l’eau.
Lorsque l’observateur est situé dans l’eau et regarde dans l’air, l’espace situé au-dessus de l’eau lui paraît agrandi de 133% (valeur inverse de 75%)
Il est bien évident que cette approximation n’est valable que pour des rayons peu inclinés par rapport à la normale au dioptre. Ce n’est pas le cas dans cette expérience mais l’approximation reste utilisable car l’explication est qualitative.

Références

Université en Ligne : Dioptre plan