Oscillations d’un flotteur

Avec un tube à essais lesté plongeant dans des liquides de viscosité différente, on met en évidence les deux régimes caractérisant le mouvement d’un corps soumis à des oscillations libres et amorties : régime pseudopériodique si l’amortissement est faible, apériodique si l’amortissement est fort.

Fiche d’accompagnement de l’expérience:
 

Matériel
  • un récipient transparent assez grand, par exemple un grand pot à confiture ;

  • un tube à essais ;

  • de petites masses pour lester le tube, par exemple de petites billes de métal ou des cailloux ;

  • éventuellement du miel et de l’huile moteur.

Montage et réalisation

Mettre des petits cailloux dans un tube à essais pour le stabiliser en position verticale lorsqu’il flotte dans l’eau (voir la photo). Soulever délicatement le tube à essais de 2 cm au-dessus de sa position d’équilibre en le tenant avec deux doigts, puis le relâcher : il se met à osciller puis s’immobilise. Il vaut mieux soulever le tube plutôt que de l’enfoncer, cela permet d’avoir des oscillations bien verticales.

Le tube a un mouvement d’oscillations harmoniques amorties qui s’arrête rapidement. En remplaçant l’eau par un liquide très visqueux, du miel par exemple, on amortit tellement le mouvement qu’il n’y a plus d’oscillations : le système est dit apériodique, il retourne lentement à sa position d’équilibre sans la dépasser. Le cas limite entre les oscillations et le mouvement apériodique est appelé régime critique. On peut le réaliser pratiquement en prenant comme liquide de l’huile moteur.

Explications

Lorsque le tube à essais est à l’équilibre, son poids est compensé par la poussée d’Archimède. On a alors :
(1)
( : section du tube ; : hauteur de tube immergée ; : masse volumique de l’eau ; : masse du tube ; : intensité de la pesanteur).
Orientons positivement vers le haut les déplacements et les projections des forces.
Lorsque le système subit un déplacement par rapport à sa position d’équilibre, il est soumis à une poussée d’Archimède égale à .
Si l’on néglige les frottements, les seules forces s’exerçant sur le système sont son poids et la poussée d’Archimède.
On a alors, en tenant compte de la condition d’équilibre (1) :

Le système non amorti a alors un mouvement sinusoïdal de pulsation :

Si l’on prend en compte des frottements visqueux, il s’ajoute une force de sens opposé au mouvement, de valeur
  .
L’équation différentielle du mouvement est alors :

On est amené à distinguer 3 régimes différents selon la valeur de l’amortissement :

  • 1. Amortissement faible :

Le tube à essais a un mouvement d’oscillations amorties avec :

( et  sont déterminés par les conditions initiales, et on a
  ).
La pulsation est
. si

  • 2. Régime apériodique critique :

C’est dans ce cas que le retour à l’équilibre est le plus rapide et on a :

si, dans les conditions initiales, on a et .

  • 3. Amortissement fort :

Le système retourne très lentement à sa position d’équilibre et sans osciller : le mouvement est apériodique. Ce cas peut être réalisé pratiquement avec un liquide très visqueux. On a alors :
avec , .

(les valeurs de et résultant des conditions initiales).

 

Remarques

Le régime apériodique critique présente une grande importance pratique pour les dispositifs avec lesquels on ne souhaite pas avoir d’oscillations (par exemple les appareils de mesure à aiguille ou les amortisseurs d’une voiture).
Ce régime est clairement mis en évidence si l’expérience est conduite en parallèle avec les trois liquides : c’est bien avec l’huile moteur que le retour à la position d’équilibre est le plus rapide (dans l’eau les oscillations durent longtemps et dans le miel le retour à la position d’équilibre est extrêmement lent).

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