Un pendule de longueur variable (2)

La période des oscillations d’un pendule simple varie lorsqu’on fait varier la longueur du fil en l’enroulant autour d’un doigt.

Fiche d’accompagnement de l’expérience:
 

Matériel
  • une masse marquée d’environ 100 g (ou un objet quelconque de même masse)

  • un écrou ou un objet quelconque de même masse

  • du fil (longueur : environ 40 cm)

Montage et réalisation

Attacher la masse marquée à une extrémité du fil et l’écrou à l’autre extrémité.

Poser le fil à cheval sur l’index de la main gauche, prendre l’écrou dans l’autre main, tirer une grande longueur de fil et soulever l’écrou jusqu’à la hauteur de la main gauche (voir la figure).

Lâcher l’écrou qui s’enroule alors de plus en plus vite autour du doigt.

La masse marquée ne tombe pas sur le sol car le fil est retenu par les forces de frottement entre le fil et le doigt.

Explications

Le fil n’est plus retenu dès qu’on lâche l’écrou. La masse de l’écrou étant faible devant celle de la masse marquée, le fil est entraîné par la chute de la masse marquée. L’écrou possède un moment cinétique initial par rapport à l’axe de rotation que constitue le doigt. La distance entre l’écrou et l’axe de rotation diminue car le fil est entraîné par la chute de la masse marquée.

L’énergie mécanique d’un écrou accroché à un fil de longueur constante se conserverait si l’on négligeait les frottements. En réalité, du fait de la chute de la masse marquée, l’écrou subit une accélération entraînant une augmentation de son énergie mécanique :
(1)
  :
variation de l’énergie du pendule au cours du temps ;
:
variation de la longueur r du pendule au cours du temps ; M : masse de la masse marquée ; g : intensité de la pesanteur).

Seule la longueur r du fil peut faire varier l’énergie du pendule car la masse marquée possède une masse M constante et une vitesse de chute faible. L’énergie mécanique de ce pendule comporte deux termes : énergie cinétique et énergie potentielle. Au point de rebroussement R, toute l’énergie est sous forme d’énergie potentielle (voir la figure 2).

Au point le plus bas B, l’énergie cinétique est maximale.

Si l’énergie du système est supérieure à la valeur la plus élevée de l’énergie potentielle (c’est-à-dire à l’énergie potentielle dans la position H représentée sur la figure), le pendule dépasse la position la plus haute grâce à l’énergie cinétique restante et il effectue un tour complet autour du doigt.

Lorsque le pendule poursuit son mouvement en descendant, la longueur du fil diminue et par conséquent l’énergie du pendule augmente (voir la relation 1).

Ce supplément d’énergie ne pouvant pas correspondre à une augmentation d’énergie potentielle, c’est l’énergie cinétique de l’écrou qui augmente.

La chute de la masse marquée s’arrête lorsque les frottements entre le fil et le doigt deviennent suffisamment importants.

Ceci intervient en général au bout de 3 tours de fil autour du doigt mais dépend bien entendu de la nature du fil.

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