Un réseau cristallin de pièces de monnaie

Sur un carré de carton bordé de réglettes de bois, on cherche à placer un maximum de rondelles d’aluminium. La question est : combien de rondelles pouvons-nous placer entre les réglettes ? Ça dépend ? Exact. Regardez…

Fiche d’accompagnement de l’expérience:
 

Matériel
  • 110 rondelles

  • papier à carreaux

  • crayon et règle

Montage et réalisation

Placer dix rondelles dans chaque rangée et remplir dix rangées, soit un total de cent rondelles qui semblent occuper toute la place disponible entre les baguettes de bois.

Disposer ensuite les rondelles de manière à ce que chacune d’elle se place dans les creux ménagés dans la rangée précédente.

Même en évitant que la dernière rangée déborde, on arrive alors à placer 105 rondelles : la surface du carton contient donc au moins cinq rondelles de plus.

Explications

Dans la première disposition chaque rondelle est en contact avec quatre voisines ; la surface des interstices entre elles est donc importante.

Dans la deuxième disposition au contraire, chaque rondelle est en contact avec six voisines qui dessinent autour d’elle un hexagone.

La surface des interstices est donc bien moindre : c’est pourquoi la surface du carton, identique dans les deux cas, est mieux recouverte dans le deuxième arrangement que dans le premier.

Cet exemple avec des rondelles présente une analogie de dimension deux avec des empilements de dimension trois de sphères (réseaux cristallins atomiques) qui peuvent avoir différentes compacités.

Remarques

Cette structure en hexagone se retrouve fréquemment dans la nature : dans une ruche par exemple, les rayons qui contiennent les larves ou le miel ont cette disposition, car c’est elle qui occupe le maximum de la place disponible.

On peut faire l’expérience avec des sphères qu’on empile dans un volume déterminé, par exemple un carton. On peut alors disposer les couches de sphères comme sur la figure 1 ou comme sur la figure 2. Chaque couche de sphères correspond alors à une rangée de pièces.

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